哥德尔——一位智慧巨人，他的不完全性定理不仅改变了数学，而且改变了整个科学世界和建筑于此定理之上的哲学。在本书中，作者为我们描述了这样一个复杂的人物：既入世又遁世，既雄心勃勃又固执己见。他是爱因斯坦一直找寻的谈伴，并被爱因斯坦视为知音。

本书在介绍哥德尔精彩的一生时，把我们带到逻辑边界和逻辑之外，深入到最激动人心的哲学未知领域进行探索。

库尔特·哥德尔是一个智慧巨人。他的不完全性定理不仅改变了数学，而且改变了整个科学世界和建筑于此定理之上的哲学。哥德尔定理粉碎了逻辑最终将使我们理解整个世界的梦想，同时也引发了许多富有挑战性的问题：什么是理性思维的界限?我们能够完全理解我们自己造的机器吗?我们能够搞清楚我们心智的内在工作过程吗?当对他们的研究结果缺乏逻辑的确定性时，数学家还怎么继续工作?在这本书里，我们最终遇到了置身于这些深邃思想背后的那个人。约翰·L·卡斯蒂和维尔纳·德波利为我们描述了一个复杂的人物：既人世又遁世，既雄心勃勃又固执己见。作为维也纳文化上最负盛名、最具创造力的那个时期的一个学生，哥德尔深受语言哲学家维特根斯坦的影响。他参加了维也纳学派的活动，与学派成员一起讨论科学理论、客观实在和真理之间的关系。后来，哥德尔去了普林斯顿高等研究院。在那里，他成了爱因斯坦一直找寻的谈伴，并被爱因斯坦视为知音。

爱因斯坦去世后，哥德尔因担心细菌中毒而拒绝进食，最终死于饥饿。但正像卡斯蒂和德波利所明断的那样，哥德尔的影响是持久不衰的。他的工作不仅使数学发生革命性的变化，而且还波及哲学、语言学和计算机科学，甚至也许还包括宇宙学。存在着可知为真，但却必然不能被证明的事实——哥德尔的这一结论，激起了从神经网络到计算理论的发现和创新浪潮。终结完全的、无矛盾知识的梦想，昭示人之精神的永不枯竭——哥德尔不完全性定理以此树起了一座丰碑。

对本书的评价

内容提要

作者简介

前言

第一章 自亚里士多德以来

第二章 永远的不完全

第三章 不可判定

第四章 青年时代的哥德尔

第五章 在普林斯顿的生活

第六章 计算装置与数学

第七章 思维机器和不完全性逻辑

第八章 来来往往

第九章 复杂性之复杂性

第十章 灵魂之窗

参考文献

第一章

自亚里士多德以来

1965年，极具声望的奥地利经济学家摩根施特恩(OskarMorgenstern)在致奥地利外交部长(后来的总理)克赖斯基(BrunoKreisky)的一封信中写道：

毫无疑问，哥德尔是在世的最伟大的逻辑学家；确实，像外

尔(Hermann Weyl)和冯·诺伊曼(John von Neumann)这样的杰

出思想家都承认他确实是自莱布尼茨(Leibniz)以来，或者说是

自亚里士多德(Aristotle)以来最伟大的逻辑学家。在维也纳大

学的历史上，似乎还不曾有哪一位教师的名字像哥德尔的名字那

样光彩照人……爱因斯坦曾对我说，他自己的工作本身对他来说

已不再是那么重要了，他去研究院，只是为了能享有同哥德尔一

同步行回家的特权。那么，被摩根施特恩称为自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家的这个人，这个连伟大的爱因斯坦都认为是堪与其比肩的人，这个巨人中的巨人到底是怎样一个人呢？翻开这本书你将会找到答案。但为了获得对这项广受赞誉的工作的初步印象，我们首先不妨对哥德尔在数学和哲学领域中所取得的成就作一个概观。

人们总是渴望确定的知识(certain knowledge)，渴望那种超越千年而至永恒的知识。我们完全可以肯定，那种知识不能在自然科学中发现，因为在自然科学中，甚至像牛顿力学定律那样基本的理论也被相对论推翻了，而相对论本身很可能也会被将来的观察和实验所质疑。为求得我们真的可以依赖的那种确定性(certainty)(请原谅我用了一个相当蹩脚的双关表达)，我们就总是回到数学领域，特别是纯数的领域。在这一领域，我们所用的真理产出的机制是逻辑演绎的过程，那是亚里士多德留给我们的遗产。

亚里士多德的逻辑学基本上依靠两个支柱：不经证明而被看作真的前提或公设的集，以及一些保证从一个真陈述变换为另一个真陈述的推理规则。下面就以古典的苏格拉底式的三段论(Socraticsyllogism)为例说明之。

前提A：所有的人都必有一死。

前提B：约翰是人。

结论：约翰必有一死。在这里，前提A和B被设想为关于人，关于必死性和关于一个特定的人，即约翰的真陈述。从两个前提到结论的跨越，援用了最先由亚里士多德概括的演绎推理律中的一个，这就是：“如果所有x都是Y，且Z是一个X，那么Z是一个Y。”只要我们可以确信前提为真，那么约翰必有一死这一结论就是牢靠的，不可避免的，就像将会存在的事实一样真实。确定性来自于前提的语义内容，来自于在我们的心智中确定下来并由亚里士多德加以形式化的演绎过程。

哥德尔的发现是，即使存在纯数之间的真实关系，演绎逻辑的方法也因太弱而不能使我们证明所有这些事实。换句话说，真(truth)就是大于证明。

当结合日常生活来考虑上述事实时，人们并不会觉得太离奇。大家都能认识我们所“知道”的事情，但我们常常又觉得我们并不能以形式的、亚里士多德的方式逻辑地推出它们。事实上，牛津的著名哲学家奥斯汀(J．L_Austin)第一次获悉哥德尔的研究结果时，评论道：“有谁曾认为不是这样吗？”如果某人宣称并非每一件事情都可以由逻辑演绎判定真伪，恐怕大街上的老百姓也会说出同样的话来了。但对数学家而言，情况却绝非如此！数学家生活在逻辑演绎的世界里，那是他们职业的本质所在。构成数学实践内容的每一项成就(定理)，都是从不加证明而被看作真的命题(这样的命题被叫做公理)出发的一个逻辑推理序列的结果。因此，当哥德尔在1931年无可辩驳地证明，存在着可被看作真但却不可能被证明为真的数学命题时，真的就像北极上空的一股寒流袭来那样，给数学界带来了强烈的震荡。以上只是提供了一个相当松散的、非正式的、有关哥德尔的辉煌成就及其相关情况的概观。在切入正题之前，先简要地描述一下哥德尔生活的智识氛围，感受一下如此决定性地触发他的惊人成果的时代气息，还是颇为有益的。P1-3

作为千禧年纪念活动的一部分，《时代》杂志公布了一份列有20世纪100个最伟大人物的名单，其中所选出的最伟大数学家是——库尔特·哥德尔(Kurt G6del)。如果你随机挑出100个人问：“你知道哥德尔是谁吗？”那么几乎可以肯定，你不会得到什么肯定的答案。而如果你问谁是20世纪最伟大的物理学家[爱因斯坦(Einstein)]，或谁是最伟大的化学家[鲍林(Linus Pauling)？]，或谁是最伟大的作家(？？)，情况八成不会是这样。这本小册子力求做到的，就是激起广大读者对哥德尔工作与生活的兴趣，并且，至少要部分地把哥德尔极其巨大的学术成就引介到现代智识话语(modern intellectual discourse)的主流中去。

这样一个计划肇始于1986年。当时，我们两个作者中的一人维尔纳·德波利(Werner DePauli)正与彼得·魏贝尔(Peter Weibel)合作，为奥地利国家电视网制作一部有关哥德尔生平的专题片。伴随着这部片子的播放，一本以那个电视节目脚本为基础、用德文写就的小书也出版了。最初我们只不过想把那本小册子译成英文，再为英文读者稍微补充一些哥德尔生活的细节和其他素材。但不久我们就意识到，读者需要一本内容更丰富的读物，于是这便促生了一本全新的书，也就是你们拿在手中的这一本。

在准备这部书稿期间，维也纳的许多朋友、同事所提出的建议和给予的支持，均使我们深深受益。这里，我们要特别感谢戈尔布(J．Golb)、克勒(E．K6hler)、尼尔森(C．Nielsen)以及魏贝尔。此外，本书的两位编辑罗宾斯(Jeff Robbins)和库克(Amanda Cook)的努力，亦使得这本书更具有可读性。的确，要想把哥德尔那种风格的抽象工作表述清楚，并非易事。

哥德尔也许是，也许不是20世纪最伟大的数学家，但他肯定是这些最伟大的数学家中的一个。通读全书如果能使读者知道这是为什么，那就是我们最诚挚的愿望。

约翰·L·卡斯蒂

维尔纳·德波利