复变函数论研究复变量的复值函数。复变函数的理论基础是19世纪奠定的，这一时期的三个代表人物是Cauchy、Weierstrass和Riemann。Cauchy研究复变函数的积分理论。Weierstrass研究复变函数的级数理论，而Riemann研究复变函数的几何理论。复变函数的理论与方法在流体力学、热学、电磁学和弹性理论中有广泛的应用。

本书讲述单复变函数的基本理论，主要内容包括复变函数的积分理论、级数理论、留数理论和几何理论等。

数学分析以实函数为研究对象。由于理论的发展和生产实践的需要，又提出了对复变量复值函数，即复变函数的研究。复变函数的理论与方法在流体力学、热学、电磁学和弹性理论中都有广泛的应用。

本书从现代数学的观点讲述复变函数理论的基础知识。全书共分5章，内容包括复数与复变函数、复变函数的积分理论、复变函数的级数理论、留数、复变函数的几何理论等。每章后都附有习题。

本书可供理、工、农、师范、综合类院校中的数学与应用数学专业学生使用，也可供自学者参考。

第1章 复数与复变函数

 1.1 复数及其运算

1.1.1 复数及其代数运算

1.1.2 复数的几何表示

1.1.3 复数的乘幂与方根

 1.2 区域

 1.3 复变函数

1.3.1 复变函数的定义

1.3.2 三个特殊的映射

1.3.3 复变函数的极限与连续性

 1.4 解析函数

1.4.1 导数与微分

1.4.2 Cauchy-Riemann条件

 1.5 初等函数

1.5.1 指数函数

1.5.2 对数函数

1.5.3 幂函数

1.5.4 三角函数

1.5.5 反三角函数

 习题1

第2章 复变函数的积分理论

 2.1 复变函数的积分

2.1.1 积分的定义

2.1.2 积分存在的充分条件及计算方法

2.1.3 积分的性质

 2.2 Cauchy定理

2.2.1 Cauchy定理

2.2.2 Cauchy定理的推广

2.2.3 原函数与不定积分

 2.3 Cauchy积分公式

2.3.1 Cauchy积分公式

2.3.2 高阶导数公式

2.3.3 解析函数的一些性质

 习题2

第3章 复变函数的级数理论

 3.1 幂级数

3.1.1 复数项级数

3.1.2 复变函数项级数

3.1.3 幂级数

 3.2 Taylor级数

3.2.1 解析函数的Taylor展式

3.2.2 零点

3.2.3 解析函数的唯一性

 3.3 Laurent级数

3.3.1 解析函数的Laurent展式

3.3.2 孤立奇点

3.3.3 解析函数在无穷远点的性质

3.3.4 整函数与亚纯函数

 习题3

第4章 留数

 4.1 留数定理

4.1.1 留数的定义

4.1.2 留数定理

4.1.3 留数的计算方法

4.1.4 无穷远点的留数

 4.2 留数在积分计算中的应用

4.2.1 形如∫2π 0 R(cosθ，sinθ)dθ的积分

4.2.2 形如∫+∞-∞R(x)dx的积分

4.2.3 形如∫+∞-∞R(x)eiax dx(a>0)的积分

 4.3 辐角原理与Rouche定理

4.3.1 辐角原理

4.3.2 Rouche定理

 习题4

第5章 复变函数的几何理论

 5.1 共形映射

5.1.1 单叶解析函数的性质

5.1.2 解析函数的导数及其几何意义

5.1.3 共形映射的概念

 5.2 分式线性映射

5.2.1 分式线性映射的定义

5.2.2 保角性

5.2.3 保圆性

5.2.4 保交比性

5.2.5 保对称性

5.2.6 两个特殊的分式线性映射

 5.3 Riemann定理

5.3.1 最大模原理

5.3.2 Schwarz引理

5.3.3 Riemann定理与边界对应定理

 5.4 调和函数

5.4.1 调和函数

5.4.2 调和函数的性质

 习题5

参考文献