《黎曼几何讲义》全书正文为15节。由于本课程是在“微分流形”的基础上开设的，在付梓的时候，又在书后加了长长的一节附录，介绍“微分流形”的基本概念，以利读者在学习Riemann几何时查阅。

本讲义从Riemann流形的定义开始，在充分研究测地线的基础上，再用测地线作为工具，探讨Riemann流形的几何性质，直到各种“比较定理”，涵盖了经典“整体Riemann几何”的基本内容。

Riemann几何是Gauss古典曲面论的自然推广，是现代微分几何的重要基础。

本书内容包括Riemann度量，Levi-Civita联络，曲率张量，测地线，指数映照，完备性，Jacobi场和共轭点，等距和全测地子流形，Cartan-Hadamard定理，空间形式，测地线的第一、第二变分公式及其应用(如Bonnet-Myers定理，Weinstein定理等)，Morse形式与Morse指标定理，割迹与单射半径，比较定理，体积与体积比较定理等内容，涵盖了经典“整体黎曼几何”的基本内容。这些内容可供已经学过微分流形基础的学生学习。

本书可作为数学专业研究生教材，也可供高等学校数学系及物理系本科生，研究生及有关科研人员参考。

1 引言

2 Riemann度量

3 Levi-Civita联络

4 曲率张量

5 测地线，指数映照，测地凸邻域

6 完备性

7 Jacobi场和共轭点

8 等距和全测地子流形

9 Cartan-Hadamard定理

10 空间形式

11 测地线的第二变分公式及其应用

12 Morse指标形式与Morse指标定理

13 割迹和单射半径

14 比较定理

15 体积和体积比较定理

附录

Ⅰ. 微分流形（微分流形的定义和例子，可微函数与可微映照，子流形，切空间、余切空间、映照的微分，Sard定理，单位分解，Frobenius定理）

Ⅱ. 外微分和积分（张量丛，外微分，外微分式的积分，Stokes公式）

索引

参考文献